对曲面的积分求椭圆的面积_此题是关于数学考研的曲面积分题∫∫(xdydz+ydzdx+zdxdy)/(x2+y2+z2)3/2,曲面是*胪衷睬蛎...

发布于:2021-10-14 10:36:39

第一题∫∫Σ (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x? + y? + z?)^(3/2)= (1/a?)∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy= (1/a?)∫∫Σ x(- ?z/?x)dxdy + y(- ?z/?y)dxdy + zdxdy= (1/a?)∫∫D a?/√62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333332633638(a? - x? - y?) dxdy= (1/a)∫(0,2π) ∫(0,a) r/√(a? - r?) drdθ= 2π第二题要注意些地方,用高斯公式是最方便的由于这个不是封闭曲面,所以要在下面加上一个*面,但是也要绕过不连续的奇点部分所以,这个*面是一个圆环,从yz面或zx面正看这立体的*面图,是一道彩虹的样子里面的曲面是小球体x? + y? + z? = λ?,外面的曲面是椭球体x?/4 + y?/9 + z?/25 = 1P,Q,R的偏导数都相等 ==> 结果与曲面无关(跟格林公式的积分与路径无关的原理相似)选最简单的曲面Σ1:x? + y? + z? = λ?,取下侧还要补上圆环Σ2:z = 0,取下侧∫∫Σ1 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x? + y? + z?)^(3/2)= (- 1/λ?)∫∫Σ1 x(- ?z/?x)dxdy + y(- ?z/?y)dxdy + zdxdy= (- 1/λ?)∫∫D λ?/√(λ? - x? - y?) dxdy= (- 1/λ)∫(0,2π) ∫(0,λ) r/√(λ? - r?) drdθ= - 2π而∫∫Σ2 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x? + y? + z?)^(3/2)= ∫∫Σ2 0dxdy/(x? + y?)^(3/2) = 0原积分I = 0 - (- 2π) - 0 = 2π第二题你的思想没错,结果与曲面无关,可以任选包含奇点的曲面(外曲面取上侧,内曲面取下侧;反之亦然),总之原积分不可以包含该奇点,要把其排除在外追问谢谢再问一下第一问*肭虿皇枪赜 xOz 和yOz对称吗 又分别是y和x的奇函数? ∫∫Σ xdydz + ydzdx 为啥不等于0?给加分 谢谢!追答第一类曲面积分符合 偶倍奇零 性质第二类曲面积分符合 偶零奇倍 性质刚好调转的。∫∫Σ xdydz,分别前侧和后侧前侧的曲面为Σ1:x = √(a? - y? - z?)后侧的曲面为Σ2:x = - √(a? - y? - z?)∫∫Σ xdydz= ∫∫Σ1 xdydz + ∫∫Σ2 xdydz= [+ ∫∫D √(a? - y? - z?) dydz] + [- ∫∫D - √(a? - y? - z?) dydz]= 2∫∫D √(a? - y? - z?) dydz= 2∫∫Σ1 xdydzwww.mh456.com防采集。


更多追问追答?追问我书上的答案是2π,如果不按照刚网上搜到的解题方法,我会认为你的肯定正确,但又得不到2π这个值啊,会以为答案是错的。但是刚搜到的解题方法我又不理解,他不但和你一样,构造了一椭圆*面把底部封住,就成封闭曲面了,但他又构造了一曲面,他取很小的值ξ,使 z=根号下(ξ*方-x*方-y*方),实际上他的意思是封闭曲面还要加上这个曲面,最后再减去这个曲面积分,最后的值就是2π了,WHY!追答


解设F(x,y,z)=x?+y?-1 法向量=(2x,2y,0) =2√(x?+y)(cosα,cosβ,0) 因为dydz/cosα=dzdx/cosβ 所以∫∫xdydz+2ydzdx+3zdxdy =∫∫xdydz+2yx/ydydz =∫∫3xdydz,x=√(1-y?),0<y<1 =3∫0→1√(1-y?)dy*∫0→2



我弄错了,我计算奇点的时间算出来的是0,


解:原式=∫∫∫(1+1+1)dxdydz (应用奥高公式) =3∫dθ∫rdr∫dz (作柱面坐标变换) =6π∫(1-r^2)rdr =6π(1/2-1/4) =3π/2。



他这样用的是小球的挖奇点,方向下侧


直接运用高斯公式 ∫∫ xdydz+ydzdx+zdxdy (外侧) = ∫∫∫ (1+1+1) dxdydz = 3∫∫∫ dxdydz = 3 * 球体积 = 3 * (4/3)(π*1?) = 4π




追问您好,再打扰您一下,为什么当曲面为纯球面的时候,我计算就不需要挖奇点呢,你看,同样是分母不能为零,对于纯球面来说(0,0,0)也是奇点,但我的方法是x2+y2+z2=a2带入到分母当中,直接高斯得整个球面的面积,然后取面积的一半,就是球面上侧的面积,根本没有挖奇点这个做法,怎么到了椭圆球面就要挖奇点这个做法呢,能给我讲解一下吗,给您加分,万分感谢!追答纯球也需要挖奇点,只是有的曲面代入积分函数后可以消去奇点而已!本回答被提问者采纳


先把x+y+z=2带进去之后,原曲面∑,补上三个坐标*面∑1,∑2, ∑3形成封闭曲面,然后用高斯定理。 因为在三个坐标*面上的积分为0, 所以计算如下。 原积分=(1/2)∫∫∑+∑1+∑2+∑3 xdydz+ydzdx+zdxdy =(3/2)∫∫∫dV =(3/2)*8*(1/6) =2



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